Материалы по теме: линейная корреляция, связь между параметрами, анализ, высшая математика, выборочный коэффициент, лекция по высшей математике

Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя случайными величинами Х и Y. Корреляционный анализ экспериментальных данных для двух случайных величин заключает в себе следующие основные приемы: 1. Вычисление выборочных коэффициентов корреляции. 2. Составление корреляционной таблицы. 3. Проверка статистической гипотезы значимости связи. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(x) и φ(x) являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; они называется прямыми регрессии. Для достаточно полного описания особенностей корреляционной зависимости между величинами недостаточно определить форму этой зависимости и в случае линейной зависимости оценить ее силу по величине коэффициента регрессии. Например, ясно, что корреляционная зависимость возраста Y учеников средней школы от года Х их обучения в школе является, как правило, более тесной, чем аналогичная зависимость возраста студентов высшего учебного заведения от года обучения, поскольку среди студентов одного и того же года обучения в вузе обычно наблюдается больший разброс в возраcте, чем у школьников одного и того же класса. Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой: (7) где σX и σY выборочные средние квадратические отклонения величин Х и Y, которые вычисляются по формулам: (8) Следует отметить, что основной смысл выборочного коэффициента линейной корреляции rB состоит в том, что он представляет собой эмпирическую (т.е. найденную по результатам наблюдений над величинами Х и Y) оценку соответствующего генерального коэффициента линейной корреляции r: r=rB (9) Принимая во внимание формулы: видим, что выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид: (10) где . То же можно сказать о выборочном уравнений линейной регрессии Х на Y: (11) Основные свойства выборочного коэффициента линейной корреляции: 1. Коэффициент корреляции двух величин, не связанных линейной корреляционной зависимостью, равен нулю. 2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, равен 1 в случае возрастающей зависимости и -1 в случае убывающей зависимости. 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции двух величин, связанных линейной корреляционной зависимостью, удовлетворяет неравенству 0<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая. 4. Чем ближе |r| к 1, тем теснее прямолинейная корреляция между величинами Y, X. По своему характеру корреляционная связь может быть прямой и обратной, а по силе – сильной, средней, слабой. Кроме того, связь может отсутствовать или быть полной. Сила и характер связи между параметрами Сила связи Характер связи Прямая (+) Обратная (-) Полная 1 -1 Сильная От 0,7 до 1 От -0,7 до -1 Средняя От 0,3 до 0,7 От -0,3 до -0,7 Слабая От 0,3 до 0 От -0,3 до 0 Связь отсутсвует 0 0 Пример 4. Изучалась зависимость между двумя величинами Y и Х. Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 11: X 68 37 50 53 75 66 52 65 74 65 54 Y 114 149 146 141 114 112 124 105 141 120 124 Требуется: 1) Вычислить выборочный коэффициент корреляции; 2) Оценить характер и силу корреляционной зависимости; 3) Написать уравнение линейной регрессии Y на Х. Решение. По известным формулам: Отсюда, по (7) и (8): Таким образом, следует сделать вывод, что рассматриваемая корреляционная зависимость между величинами Х и Y является по характеру – обратной, по силе – средней. 3) Уравнение линейной регрессии Y на Х: Пример 5. Изучалась зависимость между качеством Y (%) и количеством Х (шт). Результаты наблюдений приведены в виде корреляционной таблицы: Y\X 18 22 26 30 ny 70 5 5 75 7 46 1 54 80 29 72 101 85 29 8 37 90 3 3 nx 12 75 102 11 200 Требуется вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции зависимости Y от Х. Решение. Для упрощения вычислений перейдем к новым переменным – условным вариантам (ui, vi), воспользовавшись формулами (*) (§3) при h1=4, h2=5, x0=26, y0=80. Для удобства перепишем данную таблицу в новых обозначениях: u\v -2 -1 0 1 nv -2 5 5 -1 7 46 1 54 0 29 72 101 1 29 8 37 2 3 3 nu 12 75 102 11 200 Имеем при xi=ui и yj=vj: Таким образом: Отсюда, Вывод: Корреляционная зависимость между величинами Х и Y - прямая и сильная.

1 2 3 4 5   28.08.2010     10808     4.5/2     0     Артем   Теги: линейная корреляция, связь между параметрами, анализ, высшая математика, выборочный коэффициент, лекция по высшей математике

Похожие статьи: Введение в теорию вероятности Регрессионный и корреляционный анализ Виды зависимости для случайных величин. Корреляционная зависимость Линейная регрессия. Использование метода наименьших квадратов (МНК) Корреляционная таблица Проверка статистических гипотез. Основные понятия. Проверка гипотезы о значимости коэффициента регрессии.

Имя *:

Код *: