Материалы по теме: медиана, мода, характеристика распределений, высшая математика, распределение, лекция по высшей математике

Биномиальное распределение (распределение, вероятности в котором определяются формулой Бернулли Pn(k)=Cnkpkqn-k. Напишем биномиальный закон в виде таблицы: X n n-1 ... k ... 1 0 P pn npn-1q ... Cnkpkqn-k ... Cm1pqn qn Пример 14. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба». Решение: Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты p=0.5, следовательно, вероятность не появления «герба» q=1-0.5=0.5. При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: х1=2, х2=1, х3=0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли: P2(2)C22p2=(0.5)2=0.25 P2(1)C21pq=2•(0.5)•(0.5)=0.5 P2(0)C20q2=(0.5)2=0.25 X 2 1 0 P 0.25 0.5 0.25 Контроль: 0,25+0,5+0,25=1. Распределение Пуассона (распределение, вероятности в котором определяются по формуле Пуассона: Pn(k)=λke-λ/k!. Выглядит таким образом: X 0 1 2 ... k P e-λ λe-λ/1! λ2e-λ/2! ... λke-λ/k! Пример 15. На складе в аптеке имеется 100000 упаковок различных лекарственных препаратов. Вероятность того, что среди них имеется препарат с истекшим сроком годности равна 0,0001. Найти вероятность того, что ровно 5 упаковок не годны к применению. Решение. По условию n=100000, p=0.0001, k=5. События состоящие в том, что препараты в 5 упаковках не годны к применению, независимы, число n велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона: Pn(k)=λke-λ/k!. Найдем λ=np=10000*0.0001=10. Искомая вероятность P10000(5)=105e-10/5!=0.0375. Следовательно, закон распределения имеет вид: X 0 1 2 ... 5 P e-10 10e-10/1! 102e-10/2! ... 105e-10/5! Равномерное распределение ( распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, у которой на интервале (a;b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a), вне этого интервала f(x)=0 Пример 16. Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (a;b). Решение. График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой x=(a+b)/2. Поэтому M(X)=(a+b)/2. Итак математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (a;b) равно полусумме концов этого интервала. Решение. Используем формулу D(x)=x2f(x)dx-[M(x)]2. Подставив f(x)=1/(b-a), M(X)=(a+b)/2 и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию D(X)=(b-a)2/12. Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии σ(X)=(b-a)/2√3. Нормальное распределение ( Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид: (14) где a - математическое ожидание, σ2 - дисперсия, σ - среднее квадратичное отклонение этой величины. График плотности вероятности нормального закона распределения (кривая Гаусса) приведен на рисунке 1. Этот график симметричен относительно вертикальной прямой x=a, причем в точке функция имеет максимум, равный . Ось абсцисс является асимптотой графика этой функции. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется формулой (15) где - функция Лапласа и Ф(-x)=-Ф(x) (16) Ф(x) - табулированная функция. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ, P(|x-a|<δ)=2Ф(δ/σ). В частности, при a=0 справедливо равенство P(|x|<δ)=2Ф(δ/σ) Мода и медиана нормального распределения соответственно равны: M0=a, Me=a, где a=M(x) Пример 18. Предполагая, случайная величина Х, определяемой как масса таблетки, наугад выбранной из некоторой партии таблеток, подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием a=0.5 г., и средним квадратичным отклонением σ=0.1 г., найти вероятность того, что масса наугад выбранной таблетки окажется в пределах от 0,45 до 0,55 г. Решение: Подставив исходные данные в формулу (15), полагая при этом α=0.45, β=0.55, получим: P(0.45<M<0.55)==Ф(0.5)-Ф(-0.5)=2Ф(0,5) Ф(0,5)≈0.1915 (по таблице). Ввиду нечетности функции: Ф(X), Ф(-0.5)=-Ф(0.5) ⇒ P(0.45<M<0.55)=0.3830 Распределения, связанные с нормальным распределением. В случае, когда α=0, σ=1, функция (14) принимает вид . Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, определяемое данной формулой называется нормированным, или стандартным. График этой функции называется нормированной кривой. Распределения и их характеристики Числовые характеристики Математическое ожидание Дисперсия СКО Мода. Медиана Распределение M(X) D(X) σx 1. Биномиальное np np(1-p) √[np(1-p)] 2. Пуассона λ λ √λ 3. Равномерное (a+b)/2 (a+b)2/12 |b-a|/√12 Медиана (a+b)/2 4.Нормальное (Гауссово) a σ2 σ Мода=a Mедиана=a

1 2 3 4 5   23.08.2010     1798     0.0/0     0     Артем   Теги: медиана, мода, характеристика распределений, высшая математика, распределение, лекция по высшей математике

Похожие статьи: Теорема сложения и теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности Вероятность гипотез. Формулы Байеса Генеральная совокупность и выборка Статистическое распределение выборки Вычисление и построение эмпирических функций распределения Регрессионный и корреляционный анализ

Имя *:

Код *: