Материалы по теме: функция, лекция по высшей математики, дифференциал, высшая математика, производная

Приращением функции y=f(x) называется разность y=f(x+x)-f(x), где x - приращение аргумента x. Если существует конечный предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при произвольном стремлении x к нулю, то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x и обозначается одним из следующих символов: y',f'(x), . Таким образом, по определению: Если указанный предел существует, то функция f(x) является дифференцируемой в точке x; операция нахождения производной y' называется дифференцированием функции y=f(x). Из равенства y/x=tgβ и определения производной следует, что производная в точке x равна тангенсу угла α наклона касательной, проведенной в точке M(x,y) к графику функции y=f(x). С физической точки зрения производная y'=f'(x) определяет скорость изменения функции в точке x относительно аргумента x, т.е. скорость есть производная пути по времени. Если С – постоянное число и u=u(x), v=v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования: 1) (C)'=0 2) (x)'=1 3) (u±v)'=u'±v' 4) (Cu)'=Cu' 5) (uv)'=u'v+uv' 6) 7) 8) если y=f(u), u=φ(x) , т.е. y=f(φ(x)) - сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то y'x=y'uu'x или ; То есть производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменой. 9) если для функции y=f(x) существует обратная дифференцируемая функция x=p(y) и , то f'(x)=1/p'(y) На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций: Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке M0(x0,f(x0)) имеет вид: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой y=f(x) в точке M0(x0,f(x0)): При f'(x0)=0 уравнение нормали имеет вид x=x0. Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым в этой точке. Пример 13. Найти производную функции Здесь y =u3, u = x2+1/x . Значит . Пример 14. Найти производную функции Здесь y=√t , t=sinu, u=lnx. Применив правило дифференцирования сложной функции, получим Пример 15. Найти значение производной функции y=|x| в точке x=0. При любом приращении независимой переменной x равном x, приращение функции в точке x=0. Из определения производной следует, что Это означает, что в точке x=0 функция y=|x| не имеет производной, хотя она и непрерывна в этой точке, поскольку . Таким образом, не всякая функция, непрерывная в некоторой точке x, дифференцируема в этой точке. Но легко показать, что любая функция непрерывна во всех точках x, в которых она дифференцируема.

1 2 3 4 5   29.07.2010     5269     3.2/4     0     Артем   Теги: функция, лекция по высшей математики, дифференциал, высшая математика, производная

Похожие статьи: Дифференциальное исчисление функции одной переменной Замечательные пределы Производные высших порядков Логарифмическое дифференцирование Функции многих переменных Частные производные Частные производные и дифференциалы высших порядков

Имя *:

Код *: