Материалы по теме: медиана, мода, ряды распределения, выборка, полигон частот, высшая математика, лекция по высшей математике

При систематизации данных выборочных обследований используются статистические дискретные и интервальные ряды распределения. 1. Статистическое дискретное распределение. Полигон. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, х2 – n2 раз, хk – nk раз и ∑ni=n - объем выборки. Наблюдаемые значения х1 называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки - относительной частотой ni/n=wi ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант хi и соответствующих им частот ni или относительных частот wi. Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения: x1 x2 ... xm n1 n2 ... nm (сумма всех частот равна объему выборки ∑ni=n) или в виде таблицы распределения относительных частот: x1 x2 ... xm w1 w2 ... wm (сумма всех относительных частот равна единице ∑wi=1) Пример 1. При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот. Решение. 1) Статистический ряд распределения частот: xi 70 71 72 73 74 ni 2 4 8 2 4 2) Объем выборки: n=2+4+8+2+4=20. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки ni/n=wi: wi=2/20=0.1; w2=4/20=0.2; w3=0.4; w4=4/20=0.1; w5=2/20=0.2. Напишем распределение относительных частот: xi 70 71 72 73 74 wi 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Контроль: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1. Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х1,n1),(х2,n2),...,(хk,nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х2, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi,ni) соединяют отрезками и получают полигон частот. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х1,w1),(х2,w2),...,(хk,wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат соответствующие им частоты wi. Точки (хi,wi) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот. Пример 2. Постройте полигон частот и относительных частот по данным примера 1. Решение: Используя дискретный статистический ряд распределения, составленный в примере 1 построим полигон частот и полигон относительных частот: 2. Статистический интервальный ряд распределения. Гистограмма. Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно ( или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). Замечание. Часто hi-hi-1=h при всех i, т.е. группировку осуществляют с равным шагом h. В этой ситуации можно руководствоваться следующими эмперическими рекомендациями по выборке а, k и hi: 1. Rразмах=Xmax-Xmin 2. h=R/k; k-число групп 3. k≥1+3.321lgn (формула Стерджеса) 4. a=xmin, b=xmax 5. h=a+ih, i=0,1...k Полученную группировку удобно представить в форме частотной таблицы, которая носит название статистический интервальный ряд распределения: Интервалы группировки [h0;h1) [h1;h2) ... [hk-2;hk-1) [hk-1;hk) Частоты n1 n2 ... nk-1 nk Аналогическую таблицу можно образовать, заменяя частоты ni относительными частотами: Интервалы группировки [h0;h1) [h1;h2) ... [hk-2;hk-1) [hk-1;hk) Отн. частоты w1 w2 ... wk-1 wk Пример 3. Из очень большой партии деталей извлечена случайная выборка объема 50 интересующий нас признак Х-размеры деталей, измеренные с точностью до 1см, представлен следующим вариоционным рядом: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Найти статистический интервальный ряд распределения. Решение. Определим характеристики группировки с помощью замечания. k≥1+3.321lg50=1+3.32lg(5•10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6 Имеем, a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, hi=22+4i, i=0,1,…,7. Интервалы группировки 22-26 26-30 30-34 34-38 38-42 42-46 46-50 Частоты ni 1 4 10 18 9 5 3 Отн.частоты wi 0.02 0.08 0.2 0.36 0.18 0.1 0.06 Десятичные логарифмы от 1 до 10 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lnn≈ 0 0.3 0.48 0.6 0.7 0.78 0.85 0.9 0.95 1 Наиболее информативной графической формой частот является специальный график, называемы гистограммой частот. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты). Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•ni/h=ni - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению wi/h (плотность относительной частоты). Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии wi/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•wi/h=wi - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Пример 4. Постройте гистограмму частот и относительных частот по данным примера 3. Выборочная медиана – это середина вариационного ряда, значение, расположенное на одинаковом расстоянии от левой и правой границы выборки. Выборочная мода – это наиболее вероятное, т.е. чаще всего встречающееся, значение в выборке.

1 2 3 4 5   26.08.2010     10533     4.5/2     0     Артем   Теги: медиана, мода, ряды распределения, выборка, полигон частот, высшая математика, лекция по высшей математике

Похожие статьи: Классическое определение вероятности Статистическое определение вероятностей Примеры некоторых распределений Двумерные непрерывные случайные величины Коэффициент ковариации и корреляции Генеральная совокупность и выборка Вычисление и построение эмпирических функций распределения

Имя *:

Код *: