| Главная » Статьи » Студенту » Высшая математика | Добавить статью |
Материалы по теме:
| Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c ,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным. Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. К линейным операциям над векторами относятся: 1) умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0. 2) сложение векторов (Суммой векторов Прямая е с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью е. Линейной комбинацией векторов ai называется вектор a, определяемый по формуле Если для системы n векторов ai равенство
 верно только в случае, когда Три упорядочных линейно независимых вектора ē1, ē2, ē3 в пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису ē1, ē2, ē3, т. е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов: a= xē1 + yē2 + zē3, где x, y, z являются координатами вектора a в базисе ē1, ē2, ē3. Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k, т. е. i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1). Пример 5. Векторы заданы в ортонормированном базисе i, j, k координатами: a=(2;-1;8), е1 = (1,2,3), е2 = (1,-1,-2), е3 = (1,-6,0). Убедиться, что тройка е1,е2,е3 образует базис, и найти координаты вектора Решение. Если определитель Обозначим координаты вектора a в базисе е1, е2, е3 через x,y,z. Тогда а = (x,y,z) = хе1 + yе2 + zе3. Так как по условию а = 2i – j +8k , е1 = i +2j +3k , е2 = i – j -2k, е3 = i – 6j , то из равенства а = хе1 + yе2 + zе3 следует, что 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k..Как видно, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z: Ее решение: x = 2, y = -1, z = 1. Итак, а = 2е1 – е2 + е3 = (2,-1,1). | |
 22.07.2010
 8974
 3.9/8
 0
Теги:
| |
|
Похожие статьи: |
|
называется вектор, обозначаемый 
, начало которого находится в начале первого вектора a1, а конец – в конце последнего вектора an, ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов. Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма) 
, где 
– некоторые числа. 
эта система называется линейно независимой. Если же равенство (1) выполняется для 
в этом базисе. 
, составленный из координат векторов е1, е2, е3, не равен 0, то векторы е1,е2,е3 линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убеждаемся, что 
= -18-4+3-12=-31 Таким образом, тройка е1, е2, е3 - базис. 
BBcode:
