   | |
| Модератор форума: Bukashka, noka |
| Форум "Казахстан и образование"Математика геометрия » Ученический форум » Математика » Площадь фигуры, ограниченной линиями (Решение задач по математике на нахождение площадь фигур) |
| Площадь фигуры, ограниченной линиями |
|
13.02.2014, 19:35, Четверг | Сообщение 1
Новая тема на форуме появилась. Теперь я постараюсь всем доступно объяснить эту тему. Дальше будем учиться находить объем фигуры, полученные вращением различных фигур. Ну об этом позже. Начнем с легкого как всегда, чтобы потом перейти к более сложному.
|
|
13.02.2014, 19:52, Четверг | Сообщение 2
Самое простое находить, площадь фигуры, которая образуется одной прямой и ограничена осями абсцисс и ординат. Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой y=3x-6 и осями абсцисс OX (y=0) и ординат OY (x=0)  Так выглядит график прямой, площадь которую нужно найти закрашена синим цветом. Первое что делаем в таких задачах, это находим пересечение данной прямой с осями OX и OY: Пересечение с OY: 3x-6=0 3x=6 x=2 Пересечение с OX: y=-6 Теперь мы можем найти площадь этого треугольника: S=|2|*|-6| / 2= 2*6/2 = 6 Так решаются самые простые задачи, в дальнейшем мы научимся применять формулу Ньютона-Лейбница для нахождения различных криволинейных фигур. |
|
15.02.2014, 18:56, Суббота | Сообщение 3
Теперь давайте научимся находить площадь фигуры, образованной двумя линиями. Пример 2. Определить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+3, y=2-x и осью абсцисс.  1 способ решения прост, найдем точку пересечения графика: x+3=2-x 2x=-1 x=-0.5 y=-0.5+3=2.5 Координата y по модулю есть высота треугольника. Найдем пересечение прямых с осью OX, для этого вместо y подставим 0 в каждое уравнение: x+3=0 x=-3 2-x=0 x=2 Длина основания есть сумма координат x пересечения с плоскостью OX взятых по модулю: |2|+|-3|=5 По формуле, зная высоту и основание треугольника найдем его площадь: S=5*2.5 / 2 = 6,125 2 способ, нахождение по формуле Ньютона-Лейбница: Сама формула выглядит следующим образом:  Читается она как, интеграл от a до b, a<b. Для решения определенного интеграла, нужно сначала найти первообразную F(X) для функции f(x). А затем найти разность значений b и a подставленные в первообразную F(x). Теперь вернемся к нашему примеру, для начала обратите внимание, что площадь нашей области можно вычислить суммой двух определенных интегралов:  Как вы заметили первым способом решать проще, однако не всегда можно применить его, ведь кроме прямых могут быть и кривые линии. Рассмотрим их в следующем примере. |
|
16.02.2014, 20:46, Воскресенье | Сообщение 4
Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y= -x²+5x и осью абсцисс.  Давайте найдем пересечение нашей кривой с осью абсцисс: 5x-x²=0 x(5-x)=0 x₁=0, x₂=5 Составим определенный интеграл:  Найдем первообразную: F(X)=(5x²/2)-(x³/3) Подставим сначала верхнее значение, затем нижнее и найдем разность: F(5) - F(0) = (125/2) - (125/3) - 0 = (375-250)/6 = 125/6 или 20*(5/6) |
|
16.02.2014, 21:02, Воскресенье | Сообщение 5
Пример 4. Найдите площадь фигуры, заключенной между линиями y=0, y=1/(1+x), x=0, x=3.  Конечно в обычных условиях, построить правильно график будет сложно, для этого мы и занимались исследованием функций. Что можно сказать о функции y=1/(1+x), ну во первых что графиком такой функции является гипербола. Во вторых что x стремится к -1, а y к нулю, но они никогда не достигнут этих значений. Давайте составим определенный интеграл, так как нам заданы интервалы в условии задачи, просто подставим их:  Теперь найдем первообразную: F(X)=ln|x+1| {+C не пишу, чтобы не путать людей} Подставляем значения интервалов и найдем их разность: F(3) - F(0) = ln4 - ln1 = ln4 - 0 = ln4 Ответом будет S=ln4 |
|
16.02.2014, 21:14, Воскресенье | Сообщение 6
Пример 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=7/x, x=1, x=e³, y=0  Как вы видите, снова гипербола. Пусть у вас не вызывает сомнений число e³, так как это такое же число как и все остальные. Тут просто надо вспомнить, что число e приблизительно равно 2.7 , это значит что e³>1, значит является верхним интервалом интеграла:  Первообразная от функции y=7/x равна: F(X)=7ln|x| Тогда подставляя значения интервалов, найдем площадь фигуры: F(e³) - F(1) = 7 (lne³ - ln1) = 7 (3 - 0) = 21 Объясняю lne³ это тоже самое что и логарифм по основанию e: logee³ = 3 Тогда площадь фигуры равна 21 |
|
19.02.2014, 19:49, Среда | Сообщение 7
Пример 6. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  и прямой y=1,5 Не стоит паниковать, если уведите такое заданий. Ведь всего лишь навсего нужно решить определенный интеграл, для того чтобы найти саму функцию y(x) Первообразная равна F(t) = t² / 2 Решением определенного интеграла будет: F(x²+1) - F(x²) = [(x⁴+2x²+1)/2] - [x⁴/2] = x² + (1/2)  Графиком функции y=x² + (1/2) будет являться парабола. Найдем пересечение с прямой y=3/2 x² + (1/2) = 3/2 x²=1 x₁=-1 x₂=1 Составим определенный интеграл, решением которого будет площадь фигуры:  Первообразная от функции y(x) равна: F(x)=(x³/3)+(x²/2) Найдем значение интеграла, подставляя верхнее, а затем нижнее значения: F(1) - F(-1) = (1/3)+(1/2) - [-(1/3)-(1/2)] = (2/3) + 1 = 5/3 Ответ будет равен: 5/3 |
|
20.02.2014, 18:45, Четверг | Сообщение 8
Пример 7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x²-x, y=x-x²  Найдем пересечение графиков: x²-x=x-x² 2x²=2x x²-x=0 x(x-1)=0 x₁=0 x₂=1 Составим определенный интеграл, для этого от того графика, что проходит выше, отнимем график, что проходит ниже, тогда ответ получится не отрицательный, если вдруг вы ошиблись и сделали наоборот, берите ответ по модулю:  Найдем первообразную: F(x)=x²-(2x³/3) Найдем площадь по формуле Ньютона-Лейбница: F(1) - F(0) = 1 - (2/3) - 0= 1/3 Ответ: 1/3 |
Гость
14.04.2014, 16:44, Понедельник | Сообщение 9
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-2x+2, y=x, x=2x-1
|
Гость
04.05.2014, 23:23, Воскресенье | Сообщение 10
Артем, y=ln(1-x^2),0≤x≤1/2
|
|
05.05.2014, 14:35, Понедельник | Сообщение 11
Цитата Гость (  ) Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-2x+2, y=x, y=2x-1 Прежде чем начинать составлять определенный интеграл посмотрим какие линии у нас на графике: y=x²-2x+2 - парабола вида y=ax²+bx+c, ветви направлены вверх, вершина лежит в точке с координатой х=-b/2а, x=2/2=1, y=1. A(1,1) y=x и y=2x-1, пересекаются в точке A(1,1)  (на рисунке искомая площадь выделена, указаны точки пересечения графиков) Для нахождения данной площади нужно из площади фигуры 1, отнять площадь фигуры 2 и площадь фигуры 3, площадь фигуры 3 получим из разности площади фигуры 4 и 5.  На рисунке показаны определенные интегралы для вычисления, для каждого находим первообразную и подставляем точки сначала верхние затем от них отнимаем нижние. 1) y=2x-1; F(y)=x²+x; F(3)-F(1)=12-2=10 2) y=x²-2x+2; F(y)=(x³/3)-x²+2x; F(3)-F(1)=(9-9+6)-((1/3)-1+2)=6-1-(1/3)=(14/3) 4) y=x; F(y)=x²/2; F(2)-F(1)=2-(1/2)=3/2 5) y=x²-2x+2; F(y)=(x³/3)-x²+2x; F(2)-F(1)=((8/3)-4+4) - ((1/3)-1+2) = (8/3) - (4/3) = (4/3) 3) (3/2) - (4/3) = (9-8)/6 = 1/6 Площадь фигуры выделенной на первом рисунке равна: 10 - (14/3) - (1/6)= (60-28-1)/6=31/6 это 5 целых 1/6 |
|
05.05.2014, 14:37, Понедельник | Сообщение 12
Цитата Гость ( ) Артем, y=ln(1-x^2),0≤x≤1/2 А что в задании написано? |
Гость
17.05.2014, 12:54, Суббота | Сообщение 13
y=x²+6x-3; y=5x+3 Найти площадь фигуры, ограниченой заданными линиями |
Гость
02.06.2014, 20:52, Понедельник | Сообщение 14
найдите S- площадь фигуры, ограниченная линиями у=7х^2 и у=1+2х-х^2
|
Гость
11.06.2014, 23:59, Среда | Сообщение 15
y=2x и y=x во 2 степени
|
Гость
18.11.2014, 16:50, Вторник | Сообщение 16
найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=6x-x^2 осью ординат и прямой y=9"
|
Гость
30.11.2014, 23:23, Воскресенье | Сообщение 17
γ=2х²+5х+2 γ=0 х=⁻1 х=4 |
Гость
30.11.2014, 23:26, Воскресенье | Сообщение 18
Вычислить площадь и объём фигуры ограниченной линиями γ=2х²+5х+2 γ=0 х=⁻1 х=4 |
Гость
13.12.2014, 10:12, Суббота | Сообщение 19
вычислить площадь фигуры y=-x+3 у=2 |
Мария
20.12.2014, 10:01, Суббота | Сообщение 20
решить задачу :вычислите площадь фигуры ограниченной линиями:Y=x^2+2x+3 . Y=0. x=1. x=-2
|
Гость
25.12.2014, 18:46, Четверг | Сообщение 21
Найти площадь фигуры ограниченной фигуры функциями у=х^2+х-1 у=0 х=0 х=4
|
|
27.12.2014, 22:14, Суббота | Сообщение 22
y=x^2+x-1 y=0 x=0 x=4 4 4 4 ∫⁽x^2+x-1)dx∫ x^3/3 +x^2/2 - x I = (64/3+16/2-4)-0=76/3 0 0 0 |
Гость
20.02.2015, 12:23, Пятница | Сообщение 23
у=1/3х^3, у=3х
|
Гость
22.02.2015, 16:19, Воскресенье | Сообщение 24
найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2-4х+4, у=0 и х=0
|
|
22.02.2015, 21:49, Воскресенье | Сообщение 25
Цитата Гость (  ) у=1/3х^3, у=3х Для решения таких задач, очень важно уметь исследовать функцию и быстро строить графики, хотя бы схематично. Начнем с первой функции у=(1/3)*x3 Наличие третьей степени говорит о том, что графиком функции является кубическая парабола и представляет собой винтообразную кривую, проходящую через начало координат из первой четверти в третью. Так, как при x=0, y=0 график проходит через центр координат. На рисунке это выглядит так:  Теперь вторая функция у=3х, тоже проходит через начало координат и является прямой. Сопоставим на графике обе функции, чтобы увидеть искомую площадь:  Как мы видим, получилось две симметричные фигуры, одна в первой, другая в третьей четвертях. Для нахождения полной площади достаточно найти одну из них и умножить на два. Найдем пересечение графиков функции, для этого достаточно приравнять обе функции (1/3)*x3=3x: Точка 1 (0;0), точка 2 (3;9) Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x) [f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле y=f1(x) и y=f2(x) [f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a, x=b вычисляется по формуле  Для нашего случая, примет вид:  Осталось найти первообразную:  Затем применить формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла: S = F(b) - F(a) = F(3) - F(0) F(3)=81/12 = 27/4 F(0) = 0 Тогда площадь от 0 до 3 на графике равна 27/4 Полная площадь фигуры, ограниченной линиями равна 27/2 |
|
22.02.2015, 22:00, Воскресенье | Сообщение 26
Цитата Гость ( ) найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2-4х+4, у=0 и х=0 Функция у=х^2-4х+4 на графике является параболой, если вершина имеет координаты (m;n) m=-b/2a ax^2+bx+c=0 b=-4, a=1 m=4/2=2 n=4-8+4=0 Тогда вершина в точке (2;0), ветви направленны вверх, на рисунке это выглядит так:  Остается составить определенный интеграл от 0 до 2  Затем решить его, применив формулу Ньютона-Лейбница:  F(2) = (8/3) - 2*4 +4*2 = (8/3) F(0) = 0 S=8/3 |
Гость
17.04.2015, 16:47, Пятница | Сообщение 27
x=1, y=x^(1/3), y=-x^3 найти площадь фигуры
|
|
04.05.2015, 15:30, Понедельник | Сообщение 28
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-0,5x^2+x+1,5 ,y=0,5х+0,5. |
Гость
04.09.2015, 18:48, Пятница | Сообщение 29
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=3/x, y=4e^x, y=3, y=4 |
Елена
25.03.2016, 18:08, Пятница | Сообщение 30
Артем,здравствуйте. Помогите, пожалуйста решить:Вычислить:а)площадь области, ограниченной данными линиями; б)объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой L x+y^2=0, x=0, y=1 |
Администрация
Студенты
Ученики
| |||