Пусть точка O центр шара, а точка O₁ центр окружности отсекаемой плоскостью альфа, следовательно O₁X радиус окружности.

Найдем этот радиус по теореме Пифагора:

O₁X²=OX²-O₁O²

O₁X²=13²-12²=25

O₁X=r=5

S_сеч=25п

В основании этого цилиндра лежит окружность с диаметром 3 см, это следует из условия "осевое сечение цилиндра плоскостью-квадрат"

Для того чтобы найти боковую поверхность цилиндра надо длину окружности что лежит в основании умножить на высоту!

Теперь остается лишь подставить:

S_бок=3*п*3=9п

Чтобы решить это задание, нужно знать формулу полной поверхности цилиндра:

S_полн=S_осн*2+S_{бок.пов.}

Для того чтобы найти S_осн=пR²; а S_{бок.пов.}=H*2пR, где H-высота цилиндра, R-радиус основания цилиндра, п-величина "пи"=3,14....

Наш цилиндр описан около куба, следовательно его длина его ребра равна высоте нашего цилиндра, а радиус равен √2a²=a√2 (Из правила прямоугольного треугольника)

В дано нам дается только площадь поверхности нашего куба, которая равна S_куба=6a², отсюда a²=S/6

Теперь запишем вместе формулу полной поверхности цилиндра и начнем упрощать.

S_полн=пR²*2+H*2пR=2пR(R+H)

Теперь просто подставим значения R и Н

S_полн=2п*a√2(a√2+a)=2п(2a²+a²√2)

Подставим a²=S/6

S_полн=2п(2S/6)+2п(√2S/6)=(2пS/3)+(√2пS/3)=(2пS+√2пS)/3

Дальше смотрите по ответу, я точно преобразить не смогу, потому что не знаю в каком виде дают ответы в тесте, но в принципе формула остается такой.

Начертим вот такой рисунок, чтобы было все понятно напишу ниже что к чему.

SA - боковое ребро, обозначим его буквой b (В нашем случае равна √3)
∠SAO - угол наклона ребра к плоскости основания, обозначим буквой α (Равен 60°)
SO - высота пирамиды, SO=H
S0₁ - радиус описанного шара SO₁=R

Так как центр описанного шара O₁ - точка пересечения плоскостей, проведённых через середины ребёр, перпендикулярно к ним, то есть SK=KA; O₁K⊥SA

∠SO₁K=∠SAO как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, SA=2SK

Из ΔO₁SK: SK=O₁S*sin∠SO₁K ⇒ SA=2O₁S*sin∠SO₁K

∠SO₁K=∠SAO, поэтому ∠SO₁K=α ⇒ b=2R*sinα (Запиши эту формулу, называется уравнением связи и применима только если пирамида правильная, т.е. ребра наклонены к основанию под одним углом или они равны между собой)

Решая теперь твою задачу найдем R:

R=b/2*sinα=√3/2*sin60°=√3/2*(√3/2)=1

Существует еще одно уравнение связи:

ΔSO₁K~ΔSOA (∠SO₁K=∠SAO, ∠SKO₁=∠SOA=90°) ⇒ SO/SA=SK/SO₁ ⇒ H/b=b/2R

b²=2HR (Уравнение связи второе, пригодится)

Высота боковой грани - апофема, строится из вершины пирамиды на ее грань.

ABCM - пирамида.
ABC -основание, угол B=90
ML, MK, MF - апофемы, по условию они равны (ML=MK=MF=14)
H - высота

Если все апофемы пирамиды равны, то в основание такой пирамиды можно вписать круг, а высота, опущенная из вершины на основание, падает в центр вписанного в основание круга.
Следовательно точки L,K,F будут равноудалены от центра окружности O на радиус этой окружности, иными словами найдем сначала радиус вписанной окружности в основание пирамиды, затем исходя из того что углы KOM,LOM и FOM будут равны 90 градусов, по теореме пифагора найдем высоту.
R=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p]=√[(21-13)(21-14)(21-15)/21]=√16=4
14²=4²+H²
H²=14*14-4*4=180
H=√180=6√5

Ошибка была в вычислении радиуса и почему то формула что раньше всегда пользовался подводит! Вот по этой если считать, то все выходит...

Этот отрезок называется средней линией, и находится (10+24)/2=17

Начнем с того что начертим этот параллелограмм.

Итак наш параллелограмм ABCD. BD - диагональ, что делит ∠B на ∠ABD=45° и ∠DBC=60°, получается что ∠B=60°+45°=105°, так как у параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, то ∠B=∠D, а ∠A=∠C=180°-∠B=180°-105°=75°

Хорошо, это повторили, но найти отношение сторон довольно просто и для этого нужно всего лишь знать теорему синусов:

Как видишь, это легко применить к нашему примеру если рассматривать треугольник ABD, то пусть сторона AB будет a, AD - b, α=∠ADB=60°, β=∠ABD=45°

Теперь остается лишь на тестировании запомнить таблицу синусов и косинусов. Зная это легко можно устно решать такие задачи и как я уже говорил пользование калькулятором совсем не обязательно.

a/sin60°=b/sin45°
a*sin45°=b*sin60°
(a*√2)/2=(b*√3)/2
a√2=b√3
a/b=√3/√2

5²+H²=13²
H=12 см

Итак, высота падает на центр пересечения диагоналей основания пирамиды, то есть образуется прямоугольный треугольник, где ребро является гипотенузой, а высота вторым катетом!!!
Вот и все!

В основании пирамиды лежит треугольник, у которого стороны равны 10 см. Параллельно плоскости основания проведена плоскость, которая отсекает у пирамиды треугольник со сторонами 4 см, этот треугольник тоже будет равносторонним. Начертим рисунок, чтобы лучше воспринимать объяснение.

Итак, теперь мы видим усеченную пирамиду ACBA₁B₁C₁, площадь боковой поверхности можно вычислить простым способом. Трапеция A₁C₁AC=C₁B₁CB=A₁B₁AB
Зная стороны трапеции, мы легко найдем ее площадь, так как она равнобокая то найдем по формуле:
S_трап=(A₁C₁+AC)*H/2, где H - высота трапеции, в нашем случае определить высоту можно по формуле √(5²-3²)=√16=4
S_трап=(4+10)*4/2=28
S_бок=28*3=84

Чтобы найти полную поверхность, нужно прибавить к боковой площади ее оснований.
S_осн=(a²*√3)/4
S_осн1=(4²*√3)/4=4√3
S_осн2=(10²*√3)/4=25√3

S_полная=S_осн1+S_осн2+S_бок=4√3+25√3+84=29√3+84