| Главная » Статьи » Студенту » Высшая математика | Добавить статью |
Материалы по теме:
Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N0(x0;y0) D. Точка N0(x0;y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N0(x0;y0), что для каждой точки (x,y), отличной от N0(x0;y0), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом. Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N0(x0;y0) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'x(x0;y0)=0, f'y=(x0;y0)=0. Точка в которой частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, т.е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функции z (или точкой возможного экстремума). Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует называется критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремума, а может не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но недостаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию. Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке N0(x0;y0) и некоторой ее окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке N0(x0;y0) значения A=f'x'x(x0;y0), B=f'x'y(x0;y0), C=f'y'y(x0;y0)Обозначим 1. Если Δ>0, то функция f(x,y) в точке N0(x0;y0) имеет экстремум: максимум, если A<0: минимум, если A>0. Пример 1. Найти экстремум функции z=3x2y-x3-y4 Имеем z'x=6xy-3x2, z'y=3x2-4y3. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений: отсюда получаем точки M1(6;3) и M2(0;0). В точке M1(6;3) имеем: A=-18, B=36, C=-108 отсюда Так как A<0, то в точке M1(6;3) функция имеет локальный максимум: zmax=z(6;3)-3•36•3-63-34=27. В точке M2(0;0): A=0, B=0, C=0 и значит, Δ=0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке M2 равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-y4<0 при x=0, y≠0: z=-x3>0 при x≠0, y=0. Значит, в окрестности точки M2(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке M2 функция экстремума не имеет. | |
 02.08.2010
 15436
 3.5/6
 15
Теги:
| |
|
Похожие статьи: |
|
. Тогда: 
BBcode:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Помогите пожалуйста Найти экстремум функции: 